Wie finde ich die Nullen einer Funktion?

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Wie finde ich die Nullstellen einer Funktion? Sagen wir mal die Gleichungen:

f(x)=(x+2)^2-5 f (x)=x^2×4 f (x)=(x-3)^2

Ich kann sie in einem Koordinatensystem zeichnen und dann bestimmten, aber wie geht der Weg, sie zu bestimmen ohne was zeichnen zu müssen? Die Aufgabe lautet nämlich die Nullstellen zu bestimmen ohne großartig zu zeichnen.

Danke im Vorraus.

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Nullstellen zu bestimmen bedeutet grundsätzlich, die Stellen zu finden, an denen der Graph die x-Achse schneidet, also dort, wo y = 0 bzw. f(x) = 0.

Dazu setzen wir den Funktionsterm null und lösen nach x auf.

Dafür gibt es je nach Gleichung ganz verschiedene Wege:

f(x) = (x + 2)² - 5

Hier können wir die Lösung durch einfache Äquivalenzumformungen bestimmen:

(x + 2)² - 5 = 0       | +5
(x + 2)² = 5            | ±√
x + 2 = ±√5            | -2x = ±√5 - 2

Also: x = √5 - 2 x = -√5 - 2 bzw. x ≈ -4,24 ∨ x ≈ 0,24

f(x) = x² * 4 = 4x²

Hier geht es auch ganz einfach durch Äquivalenzumformungen:

0 = 4x²                   | :4x² = 0                     | ±√
x = 
±√0 = 0

Es gibt also nur eine Nullstelle und zwar bei x = 0.

Nehmen wir aber mal an, du hast folgende Gleichung gegeben:

f(x) = x² - 2x - 8

Hier lässt sich mit Äquivalenzumformungen nicht so einfach nach x umformen, für solche Gleichungen kennst du die pq- oder die abc-Formel.

In diese Formel setzt du dann die Koeffizienten, also entweder p = -2, q = -8 oder a = 1, b = -2, c = -8, ein und berechnest die Ergebnisse.

Hier sollte dann x = -2 ∨ x = 4 herauskommen.

Grundsätzlich suchst du also immer den einfachsten Weg, x zu bestimmen, sei es durch Äquivalenzumformungen, durch Faktorisation (Ausklammern) oder durch eine Lösungsformel.

LG Willibergi